Wurf-Fall-Synchronisation

Studienarbeit von Jonas Fluhr & Julian Spatzier

Wird eine Kugel fallen gelassen und zum gleichen Zeitpunkt eine zweite Kugel exakt in Richtung der ersten geworfen, so treffen sich diese. Im Rahmen dieser Studienarbeit wurde ein Versuchsaufbau entwickelt, konstruiert und gefertigt, der diesen Effekt demonstriert. Dazu wurde überwiegend der 3D-Druck als Fertigungsverfahren eingesetzt. Das Erstellen des Versuchsvideos war ebenso elementarer Bestandteil dieser Studienarbeit. Um den demonstrierten Effekt im Video zu verstehen, wird nachfolgend die Theorie erläutert.

Video

Physikalischer Hintergrund

Angenommen wird, dass die "Mündung" der Wurfvorrichtung im Ursprung liegt. Die Fallvorrichtung hat den Abstand \(x_d \) zur Wurfvorrichtung. Die zu fallenlassende Kugel ist vor Abwurf in der Höhe \(h\) fixiert.

Die zu werfende Kugel verlässt die Wurfvorrichtung zu exakt gleichem Zeitunkt, wenn die frei fallende Kugel losgelassen wird.

Es gelten folgende Formeln:

Der Abwurfwinkel beträgt:
$$\tan \alpha = {h \over x_d}$$

Für die geworfene Kugel gilt:
$$\vec{r_1} (t) = \vec{v_0}t - {1 \over 2} gt^2\vec{e_z}$$
$$z_1(t) = v_0 t \cos \alpha - {1 \over 2} gt^2$$
$$x_1(t) = v_0 t \sin \alpha$$

Für die frei fallende Kugel gilt:
$$z_2(t) = h - {1 \over 2} gt^2$$

Die geworfene Kugel benötigt bis zur horizontalen Position \(x_d \) der frei fallenden Kugel die Zeit:

$$t_s = {x_d \over v_0 \sin \alpha}$$

Die zu werfende Kugel hat zu diesem Zeitpunkt die Höhe:

$$z_1(t_s) = v_0 {x_d \over v_0 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha - {1 \over 2} gt^2_s$$

Aufgrund der Beziehung \(h = x_d \cdot \tan \alpha\) ist der erste Ausdruck auf der rechten Seite gleich der Höhe \(h\). Daraus folgt \(z_1(t_s) = z_2(t_s)\). Dies ist unabhängig von der Abwurfgeschwindigkeit, solange diese so groß ist, dass die Kugel bis zur Position \(x_d \) fliegt.