Hydrodynamisches Paradoxon

Studienarbeit von Monika Kovács & Bianca Rösch

Die wesentlichen Teile des Aufbaus sind ein waagerecht montierter, handelsüblicher Lüfter, eine damit fest verbundene Pappscheibe und eine lose, laminierte Papierscheibe mit einem Loch in der Achse. Durch eine Öffnung in der Pappscheibe kann der Lüfter kräftig nach unten blasen. Lüfter-Netzteil und Ein/Aus-Schalter befinden sich in der Holzschatulle.

Bringt man bei eingeschaltetem Lüfter die Papierscheibe dicht unter die Pappscheibe, wird üblicherweise erwartet, dass der Lüfter sie wegbläst, wenn sie losgelassen wird. Sie schwebt jedoch. Dieser Effekt wird Hydrodynamisches Paradoxon genannt.

Die Papierscheibe rotiert bei diesem Aufbau, da der Lüfter leicht drehend bläst. Die Scheibe wird zentriert durch einen kleinen Dachpappen-Nagel, der in das Achsenloch ragt und dessen Kopf zentral unter dem Lüfter angeklebt ist.

Auf die Papierscheibe wirken nach unten ihr Gewicht und der Druck der Luft, die zwischen den Scheiben strömt. Nach oben wirkt der Luftdruck unterhalb der Scheibe. Die Luft zwischen den Scheiben strömt mit einer gewissen Geschwindigkeit. Dadurch ist der Druck von oben auf die Scheibe kleiner als der Umgebungsdruck. Ist der Unterschied groß genug, um das Gewicht der Scheibe zu kompensieren, schwebt sie.

Beschrieben wird das im Wesentlichen durch die Bernoulli-Gleichung (Daniel Bernoulli, 1738). Sie besagt vereinfacht, dass die Summe aus dem üblichen Druck \(p\), dem "dynamischen Druck" \({1 \over 2} \rho v^2\) und einem Anteil aus der Schwerekraft \(\rho gh\) ("Schweredruck") konstant ist.

$$p + {1 \over 2} \rho v^2 + \rho gh = const .$$

Dabei ist \(\rho \) die Dichte des strömenden Mediums, \(v\) ist die Strömungsgeschwindigkeit, \(g\) die Erdbeschleunigung und \(h\) die Höhe ab einem gewissen Nullpunkt. Bei gegebener Lüfterleistung ist die Strömungsgeschwindigkeit zwischen den Platten abhängig vom Scheibenabstand \(d\) und der Entfernung \(r\) von der Achse. Durch jeden gedachten, konzentrischen Mantel zwischen den Platten strömt die gleiche Luftmenge. Ist \(R\) der Plattenradius und \(v(R)\) die Strömungsgeschwindigkeit am Plattenrand, folgt

$$2\pi\ r\ d\ v(r) = 2\pi\ R\ d\ v(R) .$$

Außerhalb der Platten liegt der Luftdruck \(p_{a}\) vor. Die Bernoulli-Gleichung besagt dann für* \(r  \leq R\)

$$p(r) + {1 \over 2} \rho v^2(r) = p_{a} + {1 \over 2} \rho v^2(R) .$$

Daraus folgt außerhalb des Lüfterbereichs für den Druck zwischen den Platten die Bilanz

$$p(r) = p_{a} - {1 \over 2} v^2(R) \left ({R \over r}-1 \right) < p_{a} .$$

Im Schwebezustand stellt sich der Abstand der schwebenden Scheibe so ein, dass die aus der Druckdifferenz resultierende Kraft gerade das Gewicht der Scheibe kompensiert.

*Zentral unter dem Lüfter gibt es Korrekturen, die hier nicht betrachtet werden.